EPIZYKLEN

Nachfolgend sollen die grundlegenden Prinzipien deutlich gemacht werden,wie sich  geozentrische Planetenbahnen nach der Epizyklentheorie modellieren  lassen .  
              Es handelt sich dabei um  eine qualitativ orientierte Hinführung -auf die exakte Durchrechnung der aktuellen astronomischen Daten wird verzichtet .  Sämtliche Berechnungen bzw .  grafische Darstellungen wurden mit Mathematica 4.1 ausgeführt .  Das ensprechende Notebook Epizyken . nb steht zum Download bereit.

Parametrische Kreise

Grundlegend ist die parametrische Darstellung des Kreises um den Ursprung mit dem Radius r:

r = 2
ParametricPlot[r {Cos[t],  Sin[t]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio  ->  Automatic]

Kreis mit Mittelpunkt (2.5, 1.5)

ParametricPlot[{2.5 + Cos[t], 1.5 +  Sin[t]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio  ->  Automatic]

Ellipsen:

a = 3b = 2\(		ParametricPlot[{a\ Cos[t], \ b\ Sin[t]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio\  -> \ Automatic]\)

Die Brennpunkte der Ellipse liegen bei -f bzw. +f, wobei f=(Sqrt[(a^2) - (b^2)]) :

a = 3b = 2\(		ParametricPlot[{\@\(a\^2 - b\^2\) + a\ Cos[t], \ b\ Sin[t]}, {t, 0, 
        2  Pi}, AspectRatio\  -> \ Automatic]\)

Epizykloiden

\(Auf\ einem\ Kreis\ mit\ dem\ Radius\ R\ rollt\ außen\ ein\ anderer\ Kreis\ mit\ dem\ Radius\ r\ ab . \ 

            Von\ dessen\ Mittelpunkt\ befindet\ sich\ im\ Abstand\ a\ der\ Punkt\ P\), dessen Bewegungsspur sich als Epizykloide abbildet .  
            Man unterscheidet verkürzte (a < r), verlängerte (a > 
                r) und gemeine Epizykloide (a = r) .  
              Dreht sich der Radiusvektor R + 
          r um den Winkel φ,so dreht sich der äußere Kreis um den Winkel Ψ, wobei gilt:
                           φR = Ψr.
So entsteht stets eine geschlossene Kurve, oft allerdings erst nach mehreren Umläufen.

R=4
r = 1
a = 
      3
ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - 
          a Cos[t (R + r)/r], (R + r) Sin[t] - 
          a Sin[t (R + r)/r]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

R = 4r = 2a = 3ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t (R + r)/r], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t (R + r)/r]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Kardioide:
	Für   a = r = R  erhält man die Kardioide. Die 
                Länge der Kurve l= 8 r. Die Fläche F = 6((πr)^2).

R = 4r = 4a = 4ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t (R + r)/r], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t (R + r)/r]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Hypozykloiden

Sie entstehen,  wenn der Kreis nicht außen,  
      sondern innen abrollt,  
      d.h. wenn formal   r < 
        0 (und entsprechend   a < 0) :

R = 4r = -1a = -2ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t (R + r)/r], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t (R + r)/r]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

R = 4r = -1a = -3ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t (R + r)/r], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t (R + r)/r]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

R = 5r = -1a = -3ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t (R + r)/r], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t (R + r)/r]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Für  -a < -r spricht man von einer verkürzten, für  -a > -r  von einer  verlängerten,  für a = r von einer gemeinen Hypozykloide.

Astroide:

\(Die\ reguläre\ Astroide\ oder\ Sternkurve\ ist\ eine\ 
        gemeine\ Hypozykloide\ mit\ \ \ 

      	4 r = \ \(R : \)\)

R = 4r = -1a = -1ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t (R + r)/r], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t (R + r)/r]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Offene Formen:

Die Bedingung  φR=Ψr  ist dann nicht mehr erfüllt, außer   k = 1 :

R = 3r = 1a = 3k = 0.9ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t k R/r + t], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t k R/r + t]}, {t, -0.3 Pi, 
        2.1  Pi}, AspectRatio -> Automatic]

R = 3r = 1a = 3k = 1.05ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t k R/r + t], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t k R/r + t]}, {t, -0.3 Pi, 
        2.1  Pi}, AspectRatio -> Automatic]

Allgemeinste Form:

\(Die\ Konstante\ b\ bestimmt\ die\ Symmetrie\ der\ 
          Kurve.\ 
Für\ b = \ 
        3\ etwa\ ist\ sie\ exakt\ dreizählig, \ 
      d.h.\ in\ sich\ \(geschlossen : \)\)

R = 5r = 1a = 3b = 3ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t b + t], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t b + t]}, {t, -0.3 Pi, 2.1  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Bei nicht ganzzahligen Werten für b ist die Kurve nicht geschlossen:

R = 6r = 1a = 3b = 3.1ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t b + t], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t b + t]}, {t, -0.3 Pi, 2.1  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Elliptische offene Epizykloiden:

Ra = 6Rb = 5r = 1a = 3b = 3.1ParametricPlot[{(Ra + r) Cos[t] - a Cos[t b + t], 
        (Rb + r) Sin[t] - a Sin[t b + t]}, {t, -0.3 Pi, 2.1  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Ra = 7Rb = 5r = 1a = 3b = 3ParametricPlot[{(Ra + r) Cos[t] - a Cos[t b + t], 
        (Rb + r) Sin[t] - a Sin[t b + t]}, {t, -0.3 Pi, 2.1  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Merkurbahn:

minimale Entfernung des Merkur von der Erde  =  0.53 AEmaximale = 1.47 AE -> r=0 , da 1.47-1.00 = 1.00 - 0.53, d.h. beinahe kreisförmige Bahn! a=0.47 AE  
            ( = 1.00 - 0.53  =  1.47 - 1.00  =  ((1.47 - 0.53)/2))
              Synodische Umlaufzeit = 116 Tage -> b= 365/116 = 3.15

R = 1r = 0a = 0.47b = 3.15ParametricPlot[{{Cos[t], Sin[t]}, {
          (R + r) Cos[t] - a Cos[t b + t], 
          (R + r) Sin[t] - a Sin[t b + t]}}, {t, -Pi, 1.1  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.02], RGBColor[0.98, 0.91, 0.27]}, {
            GrayLevel[0]}}]

R = 1r = 0a = 0.47b = 3.15ParametricPlot[{{(R + r) Cos[t] - a Cos[t b + t], 
          (R + r) Sin[t] - a Sin[t b + t]}, {Cos[t], 
          Sin[t]}, {.98  Cos[t], .98  Sin[t]}, {1.02  Cos[t], 
          1.02  Sin[t]}}, {t, -Pi, 1.1  Pi}, AspectRatio -> Automatic, 
      Axes -> None]

Venusbahn:

minimale Entfernung der Venus von der Erde  =  0.27 AEmaximale = 1.73 AE -> r=0  (näherungsweise kreisförmig) a=0.73 AE  ( = 1.73 - 1.00 =  ((1.73 - 0.27)/2))Synodische Umlaufzeit = 584 Tage -> b= 365/584 = 0.625Das Venuspentagramm entsteht in 8 Jahren :
	                (8*365 = 2920 = 5*584)

R = 1r = 0a = 0.73b = 0.625ParametricPlot[{{Cos[t], Sin[t]}, {
          (R + r) Cos[t] - a Cos[t b + t], 
          (R + r) Sin[t] - a Sin[t b + t]}}, {t, -8.1 Pi, 8.1  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic, Axes -> None, PlotDivision -> 1000, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.02], RGBColor[0.98, 0.91, 0.27]}, {
            GrayLevel[0]}}]

Marsbahn:

minimale Entfernung  =  0.38 AEmaximale Entfernung  =  2.67 AEmittlere Entfernung   = 1.52 AEa = ((2.67 - 0.38)/2) = 1.145r = 2.67 - 1.00 - 1.145 = 0.38  -  1.00  +  1.145 = 0.525Synodische  Umlaufzeit = 780 Tage (b=365/780 = 0.46795)in 15 Jahren entsteht ein stark verzerrtes 7 - Eck(15*365 = 5475;  7*780 = 5460)

R = 1r = 0.525a = 1.145b = 0.46795ParametricPlot[{{(R + r) Cos[t] - a Cos[t b + t], 
          (R + r) Sin[t] - a Sin[t b + t]}, {Cos[t], 
          Sin[t]}, {.98  Cos[t], .98  Sin[t]}, {1.02  Cos[t], 
          1.02  Sin[t]}}, {t, -15.1 Pi, 15.1  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic, Axes -> None]

Jupiterbahn:

Minimale Entfernung  =  3.95 AEMaximale Entfernung  =  6.45 AEmittlere Entfernung  =  5.20 AESynodische Umlaufzeit  =  
      399 Tage (b = 365/399 = 0.9148)\(	\((12*365 = 4389; 11*399 = 4380)\)\)

Blütenformen:

Basierend auf Hypozykloiden, die in gewissem Sinn das Inverse der Epizykloiden darstellen, durch die sich die geozentrischen Planetenbahnen charakterisieren lassen.

R = 1r = -0.53a = 0.47b = 3ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t b + t], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t b + t]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Dreizählige Blüte:

R = 1r = 0a = -1b = -3ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t (b + 1)], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t (b + 1)]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Ähnliche Blütenformen lassen sich auch durch ein ganz anderes Konzept verwirklichen, das von den Polarkoordinaten abgeleitet ist. Die Funktion k(r,φ) beschreibt für r = const. einen Kreis. Wird für r aber eine variable zyklische Funktion, etwa Sin[mφ] gewählt, so entstehen die blütenähnlichen Schleifenformen, wobei sich grundsätzlich 2m Schleifen bilden, die aber bei ungeradzahligem m so übereinanderfallen, daß nur m Schleifen sichtbar unterschieden werden können. Die Polarkoordinaten lassen sich in rechtwinkelige Koordinaten umrechnen:

			x = r Cos(t)
			y = r Sin(t)

Dadurch ergeben sich dann für rechtwinkelige Koordinaten folgende Formel:

R = 1\(r = 0
\)ParametricPlot[{((R + r) Cos[3  t]) Cos[t], 
        ((R + r) Cos[3  t]) Sin[t]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Vierzählige Blüte:

R = 1r = 0a = -1b = -4ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t (b + 1)], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t (b + 1)]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

oder nach der alternativen Polarkoordinaten-Methode:

R = 1r = 0b = 2ParametricPlot[{((R + r) Cos[b t]) Cos[t], 
        ((R + r) Cos[b t]) Sin[t]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Fünfzählige Blüte:

R = 1r = 0a = -1b = -5ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t (b + 1)], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t (b + 1)]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

alternative Methode:

R = 1r = 0b = 5ParametricPlot[{((R + r) Cos[b t]) Cos[t], 
        ((R + r) Cos[b t]) Sin[t]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Sechszählige Blüte:

R = 1r = 0a = -1b = -6ParametricPlot[{(R + r) Cos[t] - a Cos[t (b + 1)], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t (b + 1)]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Sechszählig kardioidartig verwachsen:

R = 1r = 6a = 1b = 6\(ParametricPlot[{\((R + r)\) Cos[t] - a\ Cos[t\ \((b + 1)\)], 
        \((R + r)\) Sin[t] - a\ Sin[t\ \((b + 1)\)]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]
\)

reine Kardioide:

R = 1r = 1a = 1b = 1\(ParametricPlot[{\((R + r)\) Cos[t] - a\ Cos[t\ \((b + 1)\)], 
        \((R + r)\) Sin[t] - a\ Sin[t\ \((b + 1)\)]}, {t, 0, 2  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic]
\)

R = 4r = 0a = -4b = -5c = -4d = -10ParametricPlot[{
        (R + r) Cos[t] - a Cos[t (b + 1)] -  
          c Cos[t (d + 1)], 
        (R + r) Sin[t] - a Sin[t (b + 1)] - 
          c Sin[t (d + 1)]}, {t, 0, 2  Pi}, AspectRatio -> Automatic]

komplexere Epizykeln:

Mehrere Epizyklen werden übereinandergetürmt, um eine realistischere Bahnkurve zu erhalten.

Nach Muster der Merkurbahn:

R = 1r = 0r1  =  0.1a = 0.47b = 3.15a1  =  0.3b1  = 3.9ParametricPlot[{{
          (R + r  +  r1) Cos[t] - a Cos[t b + t]  -  
            a1 Cos[t (b1  +  1)], 
          (R + r  +  r1) Sin[t] - a Sin[t b + t]  -  
            a1 Sin [t (b1  +  1)]}, {Cos[t], Sin[t]}}, {t, -Pi, 
        1.1  Pi}, AspectRatio -> Automatic]

R = 1r = 0r1  =  0.2r2 = 0.1a = 0.47b = 3.15a1  =  0.1b1  = 4.1a2 = 0.1b2 = 3.5ParametricPlot[{{
          (R + r  +  r1 +  r2) Cos[t] - a Cos[t b + t]  -  
            a1 Cos[t (b1  +  1)] - a2 Cos[t (b2 + 1)], 
          (R + r  +  r1) Sin[t] - a Sin[t b + t]  -  
            a1 Sin [t (b1  +  1)] - a2 Sin[t (b2 + 1)]}, {
          Cos[t], Sin[t]}}, {t, -Pi, 1.1  Pi}, AspectRatio -> Automatic]

Nach Muster der Marsbahn:

R = 1r = 0.525r1  =  0.1a = 1.145b = 0.46795a1  =  0.1b1  = 0.5ParametricPlot[{{
          (R + r  +  r1) Cos[t] - a Cos[t b + t]  -  
            a1 Cos[t (b1  +  1)], 
          (R + r  +  r1) Sin[t] - a Sin[t b + t]  -  
            a1 Sin [t (b1  +  1)]}, {Cos[t], Sin[t]}}, {t, 
        -15.1 Pi, 15.1  Pi}, AspectRatio -> Automatic]

R = 1r = 0.525r1  =  0.1a = 1.145b = 0.46795a1  =  0.15b1  = 0.9ParametricPlot[{{
          (R + r  +  r1) Cos[t] - a Cos[t b + t]  -  
            a1 Cos[t (b1  +  1)], 
          (R + r  +  r1) Sin[t] - a Sin[t b + t]  -  
            a1 Sin [t (b1  +  1)]}, {Cos[t], Sin[t]}}, {t, 
        -15.1 Pi, 15.1  Pi}, AspectRatio -> Automatic]

Ephemeridentabelle:

Versuch für die Marsbahn:

R = 1r = 0.525r1  =  0.1a = 1.145b = 0.46795a1  =  0.15b1  = 0.9x[t_] := 
      (R + r  +  r1) Cos[t] - a Cos[t b + t]  -  
        a1 Cos[t (b1  +  1)]y[t_] := 
      (R + r  +  r1) Sin[t] - a Sin[t b + t]  -  
        a1 Sin [t (b1  +  1)]\(Distanz[t_] := \@\(x[t]\^2 + y[t]\^2\)		\)\(Winkel[t_] := N[ArcSin[\((y[t]/Distanz[t])\)\ ] 180/Pi]
\)Print["_____________________________________"]Print["Sonne   Mars       Distanz(Erde-Mars)"]Print["_____________________________________"]\(Do[
	
      If[\((Winkel[t] > 0)\) ∧ \((x[t] > 0)\), 
        Print[PaddedForm[Mod[t\ 180/Pi, 360], 4], "  ", 
          PaddedForm[Winkel[t], {5, 2}], "  ", 
          PaddedForm[Distanz[t], {5, 2}]], 
		
	
        If[\((Winkel[t] > 0\ )\) ∧ \((x[t] < 0)\), 
			
          Print[PaddedForm[Mod[t\ 180/Pi, 360], 4], "  ", 
            PaddedForm[Winkel[t] + 90, {5, 2}], "  ", 
            PaddedForm[Distanz[t], {5, 2}]], 
		
	
          If[\((Winkel[t] < 0)\) ∧ \((x[t] > 0)\), 
				
            Print[PaddedForm[Mod[t\ 180/Pi, 360], 4], "  ", 
              PaddedForm[360 + Winkel[t], {5, 2}], "  ", 
              PaddedForm[Distanz[t], {5, 2}]], 
			
	
            If[\((Winkel[t] < 0\ )\) ∧ \((x[t] < 0)\), 
					
              Print[PaddedForm[Mod[t\ 180/Pi, 360], 4], "  ", 
                PaddedForm[180 - Winkel[t], {5, 2}], "  ", 
                PaddedForm[Distanz[t], {5, 2}]], 
				]]]], 

      			{t, \(-16\)\ Pi, 16  Pi, Pi/6}]\)ParametricPlot[{{
          (R + r  +  r1) Cos[t] - a Cos[t b + t]  -  
            a1 Cos[t (b1  +  1)], 
          (R + r  +  r1) Sin[t] - a Sin[t b + t]  -  
            a1 Sin [t (b1  +  1)]}, {Cos[t], Sin[t]}}, {t, 
        -15.1 Pi, 15.1  Pi}, AspectRatio -> Automatic,  
      Axes  ->  None]

Versuch für die Merkurbahn:

Die Korrekturwerte r1, a1, b1 wurden der Venusbahn entnommen, wobei a1=(a/10) der Venusdaten. Insbesondere der b-Wert scheint dabei bedeutend, da dadurch der Venusrhythmus sich auf den Merkurrhythmus abbildet. Der a1-Wert hingegen gibt nur die Stärke der Kopplung beider Bahnen an. Damit die maximale und minimale Entfernung des Merkur von der Erde nach wie vor den Tatsachen entspricht, muß a entsprechend korrigiert werden: (Subscript[a, alt])=(Subscript[a, neu])+a1 (0.47 =0.397+0.073)

R = 1r = 0r1  =  0a = 0.397b = 3.15a1  =  0.073b1  = 0.625x[t_] := 
      (R + r  +  r1) Cos[t] - a Cos[t b + t]  -  
        a1 Cos[t (b1  +  1)]y[t_] := 
      (R + r  +  r1) Sin[t] - a Sin[t b + t]  -  
        a1 Sin [t (b1  +  1)]\(Distanz[t_] := \@\(x[t]\^2 + y[t]\^2\)		\)\(Winkel[t_] := N[ArcSin[\((y[t]/Distanz[t])\)\ ] 180/Pi]
\)Print["_______________________________________"]Print["Sonne   Merkur     Distanz(Erde-Merkur)"]Print["_______________________________________"]\(Do[
	
      If[\((Winkel[t] > 0)\) ∧ \((x[t] > 0)\), 
        Print[PaddedForm[Mod[t\ 180/Pi, 360], 4], "  ", 
          PaddedForm[Winkel[t], {5, 2}], "  ", 
          PaddedForm[Distanz[t], {5, 2}]], 
		
	
        If[\((Winkel[t] > 0\ )\) ∧ \((x[t] < 0)\), 
			
          Print[PaddedForm[Mod[t\ 180/Pi, 360], 4], "  ", 
            PaddedForm[Winkel[t] + 90, {5, 2}], "  ", 
            PaddedForm[Distanz[t], {5, 2}]], 
		
	
          If[\((Winkel[t] < 0)\) ∧ \((x[t] > 0)\), 
				
            Print[PaddedForm[Mod[t\ 180/Pi, 360], 4], "  ", 
              PaddedForm[360 + Winkel[t], {5, 2}], "  ", 
              PaddedForm[Distanz[t], {5, 2}]], 
			
	
            If[\((Winkel[t] < 0\ )\) ∧ \((x[t] < 0)\), 
					
              Print[PaddedForm[Mod[t\ 180/Pi, 360], 4], "  ", 
                PaddedForm[180 - Winkel[t], {5, 2}], "  ", 
                PaddedForm[Distanz[t], {5, 2}]], 
				]]]], 

      			{t, 0, 2  Pi, Pi/18}]\)ParametricPlot[{{
          (R + r  +  r1) Cos[t] - a Cos[t b + t]  -  
            a1 Cos[t (b1  +  1)], 
          (R + r  +  r1) Sin[t] - a Sin[t b + t]  -  
            a1 Sin [t (b1  +  1)]}, {Cos[t], Sin[t]}}, {t, 0, 
        2  Pi}, AspectRatio -> Automatic,  Axes  ->  None]

Umlaufbahn nach Tycho de Brahe:

Die Sonne umläuft die Erde, ebenso der Mond und die inneren Planeten, während die äußeren Planeten die die Erde umlaufende Sonne umkreisen.

Beispiel Marsbahn:

(Subscript[U, siderisch]) = 686.98 Tage
minimale Entfernung von der Sonne = 1.38 AE
maximale Entfernung von der Sonne = 1.67 AE
damit ergibt sich für die große Halbachse der stark exzentrischen Marsbahn:

	a =(( 1.67 - 1.38)/2) = 1.525 AE
	f = 1.525-1.38 = 1.67 - 1.525 = 0.145 AE und damit die kleine Halbachse
	b = (Sqrt[(a^2) - (f^2)])= 1.51809 ≈ 1.518
	m = ((Subscript[U, siderisch])/365.25) = (686.98/365.25)  
	(Subscript[U, syn])=780 Tage (15*365=5475; 7*780=5460), d.h. etwa 7 bis 8 Schleifen   	in 15 Jahren.
	
Für den angestrebten qualitativen Vergleich der geozentrischen Planetenbahnen mit den Blütenformen bzw. Blattstellungen ist diese Genauigkeit, die weder "Obertöne" noch kurzperiodische Störungen durch die anderen Planeten berücksichtigt, völlig hinreichend.

a = 1.525b = 1.518m = 686.98/365.25\(g1 = 
      ParametricPlot[{{Cos[t] + \@\(a\^2 - b\^2\) + a\ Cos[t/m], 
            Sin[t] + \ b\ Sin[t/m]}, 
		{Cos[t], Sin[t]}}, 

        		{t, \(-16\) Pi, 16\ Pi}, AspectRatio\  -> \ Automatic]\)

Verbesserung durch Reihenentwicklung, d.h. Berücksichtigung der Obertöne:
	a1 und b1 sind die entsprechenden Korrekturkonstanten.

a = 1.525a1 = 0.05b = 1.518b1 =  0.05m = 686.98/365.25\(ParametricPlot[{{
          Cos[t] + \@\(a\^2 - b\^2\) + a\ Cos[t/m] + a1\ Cos[2  t/m], 
          Sin[t] + \ b\ Sin[t/m] + b1\ Sin[2  t/m]}, 
		{Cos[t], Sin[t]}}, 
      
		{t, \(-16\) Pi, 16\ Pi}, AspectRatio\  -> \ Automatic]\)

Zusätzlich wird nun der periodisch störende Einfluß anderer Planeten berücksichtigt, hier z.B. der des Jupiter mit (Subscript[U, siderisch]) = 4332.588 => ms = (4332.588/365.25)
        ka und kb sind die entsprechenden Kopplungskonstanten:

a = 1.525a1 = 0.05b = 1.518b1 =  0.05m = 686.98/365.25ms = 4332.588/365.25ka = 0.1kb = 0.1\(ParametricPlot[{{
          Cos[t] + \@\(a\^2 - b\^2\) + a\ Cos[t/m] + a1\ Cos[2  t/m] + 
            ka\ Cos[t/ms], 
          Sin[t] + \ b\ Sin[t/m] + b1\ Sin[2  t/m] + kb\ Sin[t/ms]}, 

        		{Cos[t], Sin[t]}}, 
		{t, \(-16\) Pi, 16\ Pi}, 
      AspectRatio\  -> \ Automatic]\)

Beispiel Jupiterbahn:

Für die Jupiterbahn gilt:

	große Halbachse a = 5.203 AE
	Exzentrizität e = 0.048 =>  b  =  a  (Sqrt[1 - (e^2)]) =  5.197 AE
	(Subscript[U, siderisch ])= 4333 Tage
	Beobachtungszeitraum 12 Jahre
	(Subscript[U, syn]) = 399 (11*399 = 4389 ; 12*365 = 4380), damit ergeben sich 11 		Schleifen in 12 Jahren.

a = 5.203b = 5.197m = 4333/365.25\(g2 = 
      ParametricPlot[{{Cos[t] + \@\(a\^2 - b\^2\) + a\ Cos[t/m], 
            Sin[t] + \ b\ Sin[t/m]}, 
		{Cos[t], Sin[t]}}, 

        		{t, \(-13\) Pi, 13\ Pi}, AspectRatio\  -> \ Automatic]\)

Saturnbahn:

a = 9.529 AE
	e = 0.054 =>  b =  a  (Sqrt[1 - (e^2)])= 9.515 AE
	(Subscript[U, siderisch]) = 10743 Tage
	(Subscript[U, syn]) = 378 (28*378 = 10584 ; 29*365 = 10585) =>
		Beobachtungszeitraum 29 Jahre mit 29 bis 30 Schleifen

a = 9.529b = 9.515m = 10743/365.25\(g3 = 
      ParametricPlot[{{Cos[t] + \@\(a\^2 - b\^2\) + a\ Cos[t/m], 
            Sin[t] + \ b\ Sin[t/m]}, 
		{Cos[t], Sin[t]}}, 

        		{t, \(-32\) Pi, 31\ Pi}, AspectRatio\  -> \ Automatic	]\)

Show[g1, g2, g3, PlotRange -> {{-12, 12}, {-12, 12}}]

Inversion der Merkurbahn an der Sonnenbahn:

R = 1r = 0a = 0.397b = 3.15x[t_] := (R + r ) Cos[t] - a Cos[t b + t]y[t_] := (R + r ) Sin[t] - a Sin[t b + t] \(Distanz[t_] := \@\(x[t]\^2 + y[t]\^2\)		\)f[t_] := 1/Distanz[t]^2Winkel[t_] := N[ArcSin[(y[t]/Distanz[t]) ] 180/Pi]ParametricPlot[{{Cos[t], Sin[t]}, {x[t], y[t]}, {f[t] x[t], 
          f[t] y[t]}, {0, 0}}, {t, -Pi, 1.1  Pi}, 
      AspectRatio -> Automatic, Axes -> None, 
      PlotStyle -> {{Thickness[0.02], RGBColor[0.98, 0.91, 0.27]}, {
            GrayLevel[0]}, {RGBColor[1, 0, 0]}, {Thickness[0.02], 
            RGBColor[0, 0, 1]}}]